Тема 1. Введение. Конечные группы.
Группа, фактор группы, гомоморфизм групп, примеры конечных групп.
Тема 2. Многообразия. Группы Ли.
Многообразие, касательное расслоение, группа Ли, примеры групп Ли.
Матричные группы как группы Ли.
Тема 3. Векторные поля. Алгебра Ли векторных полей.
Индекс особой точки гладкого векторного поля. Векторные поля на сфере.
Производная Ли вдоль векторного поля.
Алгебра Ли векторных полей. Левоинвариантные векторные поля. Алгебры Ли для матричных групп.
Тема 4. Экспоненциальное отображение.
Однопараметрическая подгруппа. Экспоненциальное отображение.
Тема 5. Линейные представления.
Линейные представления групп. Изоморфизм представлений. Точные, приводимые, неприводимые, вполне приводимые представления. Лемма Шура.
Прямая сумма и тензорное произведение представлений
Присоединенное представление. SU(2)
Тема 6. Группа SU(2).
Двулистное накрытие группы SO(3). Инвариантная мера на SU(2). Унитарность конечномерных представлений SU2. Полная приводимость.
Неприводимые представления SU(2).
Характеры, разложение тензорного произведения в прямую сумму. Коэффициенты Клебша-Гордона.
Тема 7. Представления групп SU(n).
Представления групп SU(n).
Схемы Дынкина.
Основная литература
- Н.Я. Виленкин «Специальные функции и теория представлений групп»
- Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко «Современная геометрия. Методы и приложения»
- Д.П.Желобенко, А.И.Штерн «Представления групп Ли»
- А.И.Кострикин «Введение в алгебру»
- Дж.Адамс «Лекции по группам Ли»
Дополнительная литература
- The Review of Particle Physics J. Beringer et al. (Particle Data Group) Review of Particle Physics, Phys. Rev. D 86, 010001 (2012).
Типовые вопросы к зачету
- Определение группы
- Гомоморфизмы, изоморфизмы групп
- Подгруппы, порядок группы, порядок элемента, циклические группы
- Группа подстановок
- Действие группы на множестве
- Сопряжение, Нормальные подгруппы
- Индекс подгруппы, фактор группа
- Поле Z=pZ
- Определение группы Ли
- Матричные группы Ли
- Векторные поля и алгебры Ли
- Алгеры Ли для матричных групп Ли
- Экспоненциальное отображение
- Компактные, простые, полупростые группы Ли
- Изоморфизмы групп малых размерностей
- Представления и модули
- Прямые суммы и тензорные произведения представлений
- Неприводимые, приводимые представления
- Точное, регулярное, фундаментальное или тавтологическое, присоединенное представления
- Разложение представления в сумму неприводимых
- Спинорное представление SO(3)
- Спинорное представление группы Лоренца O(3; 1)
- Представления группы SO(3)
- Коэффициенты Клепша-Гордона
- Классификация простых компактных групп Ли